* Des desserts et des cafés

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :

• le premier dessert est un assortiment de macarons et est choisi par \(40\,\) % des clients ;
  
• le second dessert est une part de tarte et est choisi par \(30\,\) % des clients.
  

Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que, parmi les clients ayant pris comme dessert un assortiment de macarons, \(70\,\) % prennent un café ; parmi les clients ayant pris comme dessert une part de tarte, \(40\,\) % prennent un café ; parmi les clients n'ayant pas pris de dessert,  \(90\,\) % prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant à la sortie.

On note :

• \(\text M\)  l'événement : « Le client a pris un assortiment de macarons. »
  
• \(\text T\)  l'événement : « Le client a pris une part de tarte. »
  
• \(\text N\)  l'événement : « Le client n'a pas pris de dessert. »
  
• \(\text C\)  l'événement : « Le client a pris un café. »
  

1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation. 

2. Définir par une phrase les probabilités \(P(\text T \cap \text C)\)  et \(P_\text C(\text M)\)  (on ne demande pas de les calculer). 

3. Calculer \(P\left(\text T \cap \text C\right)\)  puis  \(P_\text C(\text M)\) .

4. On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu'il ait pris une part de tarte ? On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques